惰性求值（Lazy evaluation）是在需要时才进行求值的计算方式。惰性求值自然地在数据结构中包含递归，可以以简单的方式表示无限的概念，这种方式有利于程序的模块化。
你可以从《Why Functional Programming Matters》中知晓惰性计算可以带来哪些好处。
Haskell语言以采用惰性求值而广为人熟知。Scheme也部分采用了惰性求值。
用于惰性求值的函数
下面这些用于处理惰性求值的函数是在R5RS中定义的。中间状态被称为延时对象（promise），它表示求值方法已经定义好了，但求值还未执行。最终的值通过对延时对象（promise）调用force被计算出来。
- (delay
proc) 以proc创建一个延时对象（promise）。 - (promise?
obj) 如果obj是一个延时对象就返回 #t。 - (force
promise) 对延时对象求值，执行求值操作。
惰性求值的简单例子
[例1]展示一个惰性求值的简单例子。在这个例子中，延时对象（promise）通过对(1 + 2)调用delay产生，然后通过函数force对延时对象求值。
(define laz (delay (+ 1 2)))
;Value: laz
laz
;Value 11: #[promise 11]
(promise? laz)
;Value: #t
(force laz)
;Value: 3
(* 10 (force laz))
;Value: 30
注意延时对象并没有被force消费掉，这意味着函数force没有副作用。因此，你可以重复使用延时对象。
使用惰性求值表示无限序列
现在，让我们使用惰性求值创建无限序列。首先，我将定义一些用于处理无限序列的基本函数。然后，我会使用这些函数创建无限序列，并将无限序列用于数值计算。
无限序列可以用如表达式（1）的cons单元（cons cell）的嵌套结构表示。cons单元的car和cdr分别是最终值和延时对象（promise）。另一个表达式（1）结构的cons单元通过强制求值cdr部分产生，你可以无限重复这个过程，就像图 1。这个和cons单元的嵌套结构和普通表类似，只是使用延时对象作为cdr部分使其可以表示无限序列。
(<val> . <promise>) (1)
图 1. 无限序列的实现，使用了car和cdr分别为最终值和延时对象的cons单元。
无限序列的基本函数和宏
[代码 1]展示了无限序列的基本函数和宏。其中最重要的是lazy-map，被用于操作无限序列。
由于lazy-map包含一个特殊delay构造用于延迟求值，所以它需要被定义为宏。
01: ;;;;; basic functions and a macro
02:
03: ;;; car for lazy evaluation
04: (define lazy-car car)
05:
06: ;;; cdr for lazy evaluation
07: (define (lazy-cdr ls)
08: (force (cdr ls)))
09:
10: ;;; lazy cons
11: (define-syntax lazy-cons
12: (syntax-rules ()
13: ((_ a b) (cons a (delay b)))))
14:
15: ;;; lazy map
16: (define (lazy-map fn . lss)
17: (if (memq '() lss)
18: '()
19: (lazy-cons (apply fn (map lazy-car lss))
20: (apply lazy-map fn (map lazy-cdr lss)))))
21:
22: ;;; lazy filter
23: (define (lazy-filter pred ls)
24: (if (null? ls)
25: '()
26: (let ((obj (lazy-car ls)))
27: (if (pred obj)
28: (lazy-cons obj (lazy-filter pred (lazy-cdr ls)))
29: (lazy-filter pred (lazy-cdr ls))))))
30:
31: ;;; returns n-th item of the lazy list
32: (define (lazy-ref ls n)
33: (if (= n 0)
34: (lazy-car ls)
35: (lazy-ref (lazy-cdr ls) (- n 1))))
36:
37: ;;; returns first n items of the ls
38: (define (head ls n)
39: (if (= n 0)
40: '()
41: (cons (lazy-car ls) (head (lazy-cdr ls) (- n 1)))))
- (lazy-car ls) 和
(car ls)一样，因为car部分是最终值。 - (lazy-cdr ls) 计算
ls的cdr部分（延时对象）的‘最终’值。 - (lazy-cons a b) 这是一个扩展了
(cons a (delay b))的宏。如果这个操作被定义为一个函数，b将立刻求值，这样delay就没有任何意义了。 - (lazy-map fn . lss) 这是一个惰性求值的
map函数，是在[代码 1]中最重要的函数。注意它返回一个包含最终值（car部分）和延时对象（cdr部分）的cons单元。 - (lazy-filter pred ls) 这是一个惰性求值的
filter函数。它过滤ls并返回一个由包含满足pred条件的元素组成的‘无限序列’。 - (lazy-ref ls n) 返回‘无限序列’
ls的第n个元素。 - (head ls n) 返回
ls（惰性求值表）的前n个元素。
无限序列
无限序列可以简洁地用lazy-cons和lazy-map表示。我会展示两个例子：
- 下一项由前一项定义的序列，如等差数列和等比数列。
- 菲波那契数列。
下一个项由前一项定义的序列
下一个项由前一项定义的序列可以有如下形式的函数（f）定义：\[{a}_{i+1} = f({a}_i) \]
可以表示为[代码2]里的(inf-seq a0 f)，a0和f分别是初始项和用于计算随后项的函数。
(inf-seq a0 f)是递归定义的，它的定义清晰表明初始项是a0，第二项是(f a0)，(n+1)项由(f an)表示。
等差和等比数列分别被定义为(ari a0 d)和(geo a0 r)，其中a0，d和r分别是初始值，公差，公比。这些函数使用函数inf-seq定义。
01: ;;;; sequences
02:
03: ;;; infinite sequences represented by a_(n+1) = f(a_n)
04: (define (inf-seq a0 f)
05: (lazy-cons a0 (inf-seq (f a0) f)))
06:
07: ;;; arithmetic sequence
08: (define (ari a0 d)
09: (inf-seq a0 (lambda (x) (+ x d))))
10:
11: ;;; geometric sequence
12: (define (geo a0 r)
13: (inf-seq a0 (lambda (x) (* x r))))
让我们检查一下inf-seq所产生的无限序列（例2）。创建两个等比数列：
g1，初始值1，公比为2。g2，初始值1，公比为1/2。
然后使用head求值前10项。你将看到正确产生了两个等比数列。
接下来，使用lazy-map计算g1和g2的乘积，并使用head求值前10项。你将看到一个全是1的序列，这表明计算被正确地执行了。
现在，让我们用等差数列和lazy-filter娱乐一番。首先，用(ari 1 1)创建一个等比数列ar1。(head ar1 10)的结果显示等比数列 (1 2 3 ....) 是由 (ari 1 1) 产生的。然后使用lazy-filter取出ar1里的偶数，并使用head求值前10项。你将看到(2 4 6 8 10 12 14 16 18 20)，这表明lazy-filter正常工作。
(define g1 (geo 1 2))
;Value: g1
(define g2 (geo 1 (/ 1 2)))
;Value: g2
(head g1 10)
;Value 12: (1 2 4 8 16 32 64 128 256 512)
(head g2 10)
;Value 13: (1 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512)
(head (lazy-map * g1 g2) 10)
;Value 14: (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)
(define ar1 (ari 1 1))
;;Value: ar1
(head ar1 10)
;;Value 15: (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10)
(head (lazy-filter even? ar1) 10)
;;Value 16: (2 4 6 8 10 12 14 16 18 20)
菲波那切数列
菲波那切数列定义如下：
fib(1) = 1
fib(2) = 1
fib(n+1) = fib(n) + fib(n-1)
代码3展示了Scheme实现的菲波那切数列，用到了lazy-cons和lazy-map。如代码所示，Scheme里的定义和数学上的定义很相似。此外，各个项的计算的复杂度为O(n) 。
[例3]中，值被立刻计算出来了。
01: (define fib
02: (lazy-cons 1
03: (lazy-cons 1
04: (lazy-map + fib (lazy-cdr fib)))))
(head fib 20)
;Value 12: (1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765)
(lazy-ref fib 100)
;Value: 573147844013817084101
将惰性求值用于数值计算
下面是《Why Functional Programming Matters》里相关代码的Schme版本。也可以查看SICP 3.5. Stream惰性计算在数值计算中的应用。
牛顿-拉夫逊法求平方根
牛顿-拉夫逊法可以使用初始值a0和等式（2）计算N的平方根。
a(n+1) = (a(n) + N/a(n)) / 2 (2)
如果等式（2）收敛到最终值 a，
a = (a + N/a) / 2
⇒
2a = a + N/a
a = N/a
a*a = N
a = √N
，这表明最终值a是N的平方根。序列的下一项是前一项的函数（如等式（2）所示），这些序列可用inf-seq表示。
代码4展示了一个计算平方根的程序。在代码4中，初始值被定为1，由于序列收敛很快，所以这没问题。
01: ;;; Newton-Raphson method
02: (define (newton-raphson n)
03: (inf-seq 1 (lambda (x) (/ (+ x (/ n x)) 2))))
04:
05: ;;; returning a reasonable answer.
06: ;;; If the ratio of successive terms is in (1 - eps) and (1 + eps),
07: ;;; or the following term is zero,
08: ;;; the function returns it.
09: (define (lazylist->answer ls eps)
10: (let ((e1 (- 1.0 eps))
11: (e2 (+ 1.0 eps)))
12: (let loop ((val (lazy-car ls))
13: (ls1 (lazy-cdr ls)))
14: (let ((val2 (lazy-car ls1)))
15: (if (or (zero? val2) (< e1 (/ val val2) e2))
16: (exact->inexact val2)
17: (loop val2 (lazy-cdr ls1)))))))
18:
19: ;;;
20: (define (my-sqrt n eps)
21: (lazylist->answer (newton-raphson n) eps))
- (newton-raphson n) 一个函数，创建平方根近似值的表。
- (lazylist->answer ls eps) 检查收敛是否满足条件了。如果是的，返回数值计算的结果。如果
(1 - eps) < t2/t1 < (1 + eps)或者t2 = 0，函数返回ls的后续项（即t1和t2）的第二项。 - (my-sqrt n eps) 在相对误差eps下，计算n的平方根。
(my-sqrt 9 0.0000001)
;Value: 3.
数值微分
[代码5]中的easydiff是一种计算数字积分的简单方式，其中f，x，和h分别是被积分的函数，x值，和Δx。理论上，如果h越趋于0，获得的近似值越好。但在实践中，由于数值在计算机里的精度是有限的，微小的h值会导致错误。
为了解决这个问题，我们用lazylist-diff创建h的惰性表。这个惰性表是初始值为h0，公比为0.5的等比数列。然后我们创建一个对应于h的惰性表的近似值的惰性表。
可以通过如下代码加快收敛速度，更快得到答案：
(lazylist->answer (lazylist-diff h0 f x) eps)
函数super是收敛加速函数。可以查看《Why Functional Programming Matters》的关于加速技术部分。如果你使用了传统编程语言，加速计算会相当复杂。相反，使用惰性求值可以以简单的方式实现。此外，因为高度的模块化，你可以在其他问题中复用代码，例如数值积分（4.3.3节）。代码6复用了代码5中的加速函数。
01: ;;; differentiation
02:
03: ;;; primitive function for differentiation
04: (define (easydiff f x h)
05: (/ (- (f (+ x h)) (f x)) h))
06:
07: ;;; create a lazy list of approximation for differentiation
08: (define (lazylist-diff h0 f x)
09: (lazy-map (lambda (h) (easydiff f x h)) (geo h0 0.5)))
10:
11: ;;; eliminate error from the approximation
12: (define (elimerror n ls)
13: (let ((a (lazy-car ls))
14: (b (lazy-second ls))
15: (c (fix:lsh 1 n))) ; (expt 2 n)
16: (lazy-cons
17: (/ (- (* b c) a) (- c 1))
18: (elimerror n (lazy-cdr ls)))))
19:
20: ;;; estimate `n' in elimerror
21: (define (order ls)
22: (let* ((a (lazy-car ls))
23: (b (lazy-second ls))
24: (c (lazy-ref ls 2))
25: (d (- (/ (- a c) (- b c)) 1.0)))
26: (cond
27: ((< d 2) 1)
28: ((<= 2 d 16) (inexact->exact (round (log2 d))))
29: (else 4))))
30:
31: ;;;
32: (define (log2 x)
33: (/ (log x) (log 2)))
34:
35: ;;; improve convergence of the lazy list of the approximation
36: (define (improve ls)
37: (elimerror (order ls) ls))
38:
39: ;;; return the second value of the lazy list
40: (define (lazy-second ls)
41: (lazy-car (lazy-cdr ls)))
42:
43: ;;; further improve the convergence of the list
44: (define (super ls)
45: (lazy-map lazy-second (inf-seq ls improve)))
46:
47:
48: ;;; calculate the differentiation of function `f' at x within error eps
49: ;;; h0 is initial window width
50: (define (diff f x h0 eps)
51: (lazylist->answer (super (lazylist-diff h0 f x)) eps))
(diff sin 0.0 0.1 0.0000001)
;Value: .9999999999999516
(diff exp 0.0 0.1 0.000001)
;Value: .9999999991733471
数值积分
收敛加速函数无需任何修改即可被用于数值积分。最开始，我们使用easyintegrate创建一个粗略的近似。函数lazylist-integrate使用惰性表，通过递归地调用easyintegrate在中间点切分区间，来改进近似值。函数可以用lazy-map以简单的方式定义。最终，收敛被加速，收敛值由函数integrate返回。
01: ;;; integration
02:
03: ;;; primitive integration
04: (define (easyintegrate f a b)
05: (* (/ (+ (f a) (f b)) 2) (- b a)))
06:
07: ;;; create the lazy list of approximation for integration
08: (define (lazylist-integrate f a b)
09: (let ((mid (/ (+ a b) 2)))
10: (lazy-cons (easyintegrate f a b)
11: (lazy-map + (lazylist-integrate f a mid)
12: (lazylist-integrate f mid b)))))
13:
14: ;;; integrate function `f' in a range of `a' and `b' within error `eps'
15: (define (integrate f a b eps)
16: (lazylist->answer (super (lazylist-integrate f a b)) eps))
(define pi (* 4 (atan 1)))
;Value: pi
(integrate sin 0 pi 0.0000001)
;Value: 2.000000002272428
(integrate exp 0 1 0.0000001)
;Value: 1.7182818277724858
(- (exp 1) 1)
;Value: 1.718281828459045
小结
惰性求值允许我们以简洁的方式将重复包含在数据结构中。这个功能有利于程序的模块化，可使代码更为紧凑。查看网页Haskell可以了解更多关于惰性求值的内容。你可以在这儿下载本页中出现代码。
下一节：非确定性是一种通过仅定义问题来解决问题的算法。非确定性程序自动选择符合条件的选项。这项技术很适合逻辑编程。