1. np数组的构造
最一般的方法是通过 array 来构造：
In [29]: import numpy as np
In [30]: np.array([1,2,3])
Out[30]: array([1, 2, 3])
下面讨论一些特殊数组的生成方式：
【a】等差序列： np.linspace, np.arange
In [31]: np.linspace(1,5,11) # 起始、终止（包含）、样本个数
Out[31]: array([1. , 1.4, 1.8, 2.2, 2.6, 3. , 3.4, 3.8, 4.2, 4.6, 5. ])
In [32]: np.arange(1,5,2) # 起始、终止（不包含）、步长
Out[32]: array([1, 3])
【b】特殊矩阵： zeros, eye, full
In [33]: np.zeros((2,3)) # 传入元组表示各维度大小
Out[33]:
array([[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.]])
In [34]: np.eye(3) # 3*3的单位矩阵
Out[34]:
array([[1., 0., 0.],
[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.]])
In [35]: np.eye(3, k=1) # 偏移主对角线1个单位的伪单位矩阵
Out[35]:
array([[0., 1., 0.],
[0., 0., 1.],
[0., 0., 0.]])
In [36]: np.full((2,3), 10) # 元组传入大小，10表示填充数值
Out[36]:
array([[10, 10, 10],
[10, 10, 10]])
In [37]: np.full((2,3), [1,2,3]) # 每行填入相同的列表
Out[37]:
array([[1, 2, 3],
[1, 2, 3]])
【c】随机矩阵： np.random
最常用的随机生成函数为 rand, randn, randint, choice ，它们分别表示0-1均匀分布的随机数组、标准正态的随机数组、随机整数组和随机列表抽样：
In [38]: np.random.rand(3) # 生成服从0-1均匀分布的三个随机数
Out[38]: array([0.99390903, 0.25854328, 0.13560598])
In [39]: np.random.rand(3, 3) # 注意这里传入的不是元组，每个维度大小分开输入
Out[39]:
array([[0.62634822, 0.06747959, 0.76049576],
[0.21826591, 0.71708638, 0.98481069],
[0.38071365, 0.82645691, 0.25598288]])
对于服从区间 (a) 到 (b) 上的均匀分布可以如下生成：
In [40]: a, b = 5, 15
In [41]: (b - a) * np.random.rand(3) + a
Out[41]: array([ 6.40061821, 6.72343487, 10.49412407])
一般的，可以选择已有的库函数：
In [42]: np.random.uniform(5, 15, 3)
Out[42]: array([11.10830186, 7.35193797, 8.46971257])
randn 生成了 (N\rm{(\mathbf{0}, \mathbf{I})}) 的标准正态分布：
In [43]: np.random.randn(3)
Out[43]: array([ 1.2642241 , -1.04640246, 0.05297258])
In [44]: np.random.randn(2, 2)
Out[44]:
array([[2.65755302, 0.12266858],
[0.29899713, 0.40504878]])
对于服从方差为 (\sigma^2) 均值为 (\mu) 的一元正态分布可以如下生成：
In [45]: sigma, mu = 2.5, 3
In [46]: mu + np.random.randn(3) * sigma
Out[46]: array([6.46031228, 0.57297935, 5.2692226 ])
同样的，也可选择从已有函数生成：
In [47]: np.random.normal(3, 2.5, 3)
Out[47]: array([2.72546019, 7.42390272, 3.71079215])
randint 可以指定生成随机整数的最小值最大值（不包含）和维度大小：
In [48]: low, high, size = 5, 15, (2,2) # 生成5到14的随机整数
In [49]: np.random.randint(low, high, size)
Out[49]:
array([[ 6, 10],
[11, 11]])
choice 可以从给定的列表中，以一定概率和方式抽取结果，当不指定概率时为均匀采样，默认抽取方式为有放回抽样：
In [50]: my_list = ['a', 'b', 'c', 'd']
In [51]: np.random.choice(my_list, 2, replace=False, p=[0.1, 0.7, 0.1 ,0.1])
Out[51]: array(['b', 'd'], dtype='<U1')
In [52]: np.random.choice(my_list, (3,3))
Out[52]:
array([['a', 'b', 'b'],
['a', 'a', 'b'],
['c', 'c', 'b']], dtype='<U1')
当返回的元素个数与原列表相同时，不放回抽样等价于使用 permutation 函数，即打散原列表：
In [53]: np.random.permutation(my_list)
Out[53]: array(['b', 'd', 'a', 'c'], dtype='<U1')
最后，需要提到的是随机种子，它能够固定随机数的输出结果：
In [54]: np.random.seed(0)
In [55]: np.random.rand()
Out[55]: 0.5488135039273248
In [56]: np.random.seed(0)
In [57]: np.random.rand()
Out[57]: 0.5488135039273248
2. np数组的变形与合并
【a】转置： T
In [58]: np.zeros((2,3)).T
Out[58]:
array([[0., 0.],
[0., 0.],
[0., 0.]])
【b】合并操作： r_, c_
对于二维数组而言， r_ 和 c_ 分别表示上下合并和左右合并：
In [59]: np.r_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))]
Out[59]:
array([[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.],
[0., 0., 0.]])
In [60]: np.c_[np.zeros((2,3)),np.zeros((2,3))]
Out[60]:
array([[0., 0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0., 0.]])
一维数组和二维数组进行合并时，应当把其视作列向量，在长度匹配的情况下只能够使用左右合并的 c_ 操作：
In [61]: try:
....: np.r_[np.array([0,0]),np.zeros((2,1))]
....: except Exception as e:
....: Err_Msg = e
....:
In [62]: Err_Msg
Out[62]: ValueError('all the input arrays must have same number of dimensions, but the array at index 0 has 1 dimension(s) and the array at index 1 has 2 dimension(s)')
In [63]: np.r_[np.array([0,0]),np.zeros(2)]
Out[63]: array([0., 0., 0., 0.])
In [64]: np.c_[np.array([0,0]),np.zeros((2,3))]
Out[64]:
array([[0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0.]])
【c】维度变换： reshape
reshape 能够帮助用户把原数组按照新的维度重新排列。在使用时有两种模式，分别为 C 模式和 F 模式，分别以逐行和逐列的顺序进行填充读取。
In [65]: target = np.arange(8).reshape(2,4)
In [66]: target
Out[66]:
array([[0, 1, 2, 3],
[4, 5, 6, 7]])
In [67]: target.reshape((4,2), order='C') # 按照行读取和填充
Out[67]:
array([[0, 1],
[2, 3],
[4, 5],
[6, 7]])
In [68]: target.reshape((4,2), order='F') # 按照列读取和填充
Out[68]:
array([[0, 2],
[4, 6],
[1, 3],
[5, 7]])
特别地，由于被调用数组的大小是确定的， reshape 允许有一个维度存在空缺，此时只需填充-1即可：
In [69]: target.reshape((4,-1))
Out[69]:
array([[0, 1],
[2, 3],
[4, 5],
[6, 7]])
下面将 n*1 大小的数组转为1维数组的操作是经常使用的：
In [70]: target = np.ones((3,1))
In [71]: target
Out[71]:
array([[1.],
[1.],
[1.]])
In [72]: target.reshape(-1)
Out[72]: array([1., 1., 1.])
3. np数组的切片与索引
数组的切片模式支持使用 slice 类型的 start:end:step 切片，还可以直接传入列表指定某个维度的索引进行切片：
In [73]: target = np.arange(9).reshape(3,3)
In [74]: target
Out[74]:
array([[0, 1, 2],
[3, 4, 5],
[6, 7, 8]])
In [75]: target[:-1, [0,2]]
Out[75]:
array([[0, 2],
[3, 5]])
此外，还可以利用 np.ix_ 在对应的维度上使用布尔索引，但此时不能使用 slice 切片：
In [76]: target[np.ix_([True, False, True], [True, False, True])]
Out[76]:
array([[0, 2],
[6, 8]])
In [77]: target[np.ix_([1,2], [True, False, True])]
Out[77]:
array([[3, 5],
[6, 8]])
当数组维度为1维时，可以直接进行布尔索引，而无需 np.ix_ ：
In [78]: new = target.reshape(-1)
In [79]: new[new%2==0]
Out[79]: array([0, 2, 4, 6, 8])
4. 常用函数
为了简单起见，这里假设下述函数输入的数组都是一维的。
【a】 where
where 是一种条件函数，可以指定满足条件与不满足条件位置对应的填充值：
In [80]: a = np.array([-1,1,-1,0])
In [81]: np.where(a>0, a, 5) # 对应位置为True时填充a对应元素，否则填充5
Out[81]: array([5, 1, 5, 5])
【b】 nonzero, argmax, argmin
这三个函数返回的都是索引， nonzero 返回非零数的索引， argmax, argmin 分别返回最大和最小数的索引：
In [82]: a = np.array([-2,-5,0,1,3,-1])
In [83]: np.nonzero(a)
Out[83]: (array([0, 1, 3, 4, 5], dtype=int64),)
In [84]: a.argmax()
Out[84]: 4
In [85]: a.argmin()
Out[85]: 1
【c】 any, all
any 指当序列至少 存在一个 True 或非零元素时返回 True ，否则返回 False
all 指当序列元素 全为 True 或非零元素时返回 True ，否则返回 False
In [86]: a = np.array([0,1])
In [87]: a.any()
Out[87]: True
In [88]: a.all()
Out[88]: False
【d】 cumprod, cumsum, diff
cumprod, cumsum 分别表示累乘和累加函数，返回同长度的数组， diff 表示和前一个元素做差，由于第一个元素为缺失值，因此在默认参数情况下，返回长度是原数组减1
In [89]: a = np.array([1,2,3])
In [90]: a.cumprod()
Out[90]: array([1, 2, 6], dtype=int32)
In [91]: a.cumsum()
Out[91]: array([1, 3, 6], dtype=int32)
In [92]: np.diff(a)
Out[92]: array([1, 1])
【e】 统计函数
常用的统计函数包括 max, min, mean, median, std, var, sum, quantile ，其中分位数计算是全局方法，因此不能通过 array.quantile 的方法调用：
In [93]: target = np.arange(5)
In [94]: target
Out[94]: array([0, 1, 2, 3, 4])
In [95]: target.max()
Out[95]: 4
In [96]: np.quantile(target, 0.5) # 0.5分位数
Out[96]: 2.0
但是对于含有缺失值的数组，它们返回的结果也是缺失值，如果需要略过缺失值，必须使用 nan* 类型的函数，上述的几个统计函数都有对应的 nan* 函数。
In [97]: target = np.array([1, 2, np.nan])
In [98]: target
Out[98]: array([ 1., 2., nan])
In [99]: target.max()
Out[99]: nan
In [100]: np.nanmax(target)
Out[100]: 2.0
In [101]: np.nanquantile(target, 0.5)
Out[101]: 1.5
对于协方差和相关系数分别可以利用 cov, corrcoef 如下计算：
In [102]: target1 = np.array([1,3,5,9])
In [103]: target2 = np.array([1,5,3,-9])
In [104]: np.cov(target1, target2)
Out[104]:
array([[ 11.66666667, -16.66666667],
[-16.66666667, 38.66666667]])
In [105]: np.corrcoef(target1, target2)
Out[105]:
array([[ 1. , -0.78470603],
[-0.78470603, 1. ]])
最后，需要说明二维 Numpy 数组中统计函数的 axis 参数，它能够进行某一个维度下的统计特征计算，当 axis=0 时结果为列的统计指标，当 axis=1 时结果为行的统计指标：
In [106]: target = np.arange(1,10).reshape(3,-1)
In [107]: target
Out[107]:
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
In [108]: target.sum(0)
Out[108]: array([12, 15, 18])
In [109]: target.sum(1)
Out[109]: array([ 6, 15, 24])
5. 广播机制
广播机制用于处理两个不同维度数组之间的操作，这里只讨论不超过两维的数组广播机制。
【a】标量和数组的操作
当一个标量和数组进行运算时，标量会自动把大小扩充为数组大小，之后进行逐元素操作：
In [110]: res = 3 * np.ones((2,2)) + 1
In [111]: res
Out[111]:
array([[4., 4.],
[4., 4.]])
In [112]: res = 1 / res
In [113]: res
Out[113]:
array([[0.25, 0.25],
[0.25, 0.25]])
【b】二维数组之间的操作
当两个数组维度完全一致时，使用对应元素的操作，否则会报错，除非其中的某个数组的维度是 (m\times 1) 或者 (1\times n) ，那么会扩充其具有 (1) 的维度为另一个数组对应维度的大小。例如， (1\times 2) 数组和 (3\times 2) 数组做逐元素运算时会把第一个数组扩充为 (3\times 2) ，扩充时的对应数值进行赋值。但是，需要注意的是，如果第一个数组的维度是 (1\times 3) ，那么由于在第二维上的大小不匹配且不为 (1) ，此时报错。
In [114]: res = np.ones((3,2))
In [115]: res
Out[115]:
array([[1., 1.],
[1., 1.],
[1., 1.]])
In [116]: res * np.array([[2,3]]) # 第二个数组扩充第一维度为3
Out[116]:
array([[2., 3.],
[2., 3.],
[2., 3.]])
In [117]: res * np.array([[2],[3],[4]]) # 第二个数组扩充第二维度为2
Out[117]:
array([[2., 2.],
[3., 3.],
[4., 4.]])
In [118]: res * np.array([[2]]) # 等价于两次扩充，第二个数组两个维度分别扩充为3和2
Out[118]:
array([[2., 2.],
[2., 2.],
[2., 2.]])
【c】一维数组与二维数组的操作
当一维数组 (A_k) 与二维数组 (B_{m,n}) 操作时，等价于把一维数组视作 (A_{1,k}) 的二维数组，使用的广播法则与【b】中一致，当 (k!=n) 且 (k, n) 都不是 (1) 时报错。
In [119]: np.ones(3) + np.ones((2,3))
Out[119]:
array([[2., 2., 2.],
[2., 2., 2.]])
In [120]: np.ones(3) + np.ones((2,1))
Out[120]:
array([[2., 2., 2.],
[2., 2., 2.]])
In [121]: np.ones(1) + np.ones((2,3))
Out[121]:
array([[2., 2., 2.],
[2., 2., 2.]])
6. 向量与矩阵的计算
【a】向量内积： dot
[\rm \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \sum_ia_ib_i]
In [122]: a = np.array([1,2,3])
In [123]: b = np.array([1,3,5])
In [124]: a.dot(b)
Out[124]: 22
【b】向量范数和矩阵范数： np.linalg.norm
在矩阵范数的计算中，最重要的是 ord 参数，可选值如下：
| ord | norm for matrices | norm for vectors |
|---|---|---|
| None | Frobenius norm | 2-norm |
| ‘fro’ | Frobenius norm | – |
| ‘nuc’ | nuclear norm | – |
| inf | max(sum(abs(x), axis=1)) | max(abs(x)) |
| -inf | min(sum(abs(x), axis=1)) | min(abs(x)) |
| 0 | – | sum(x != 0) |
| 1 | max(sum(abs(x), axis=0)) | as below |
| -1 | min(sum(abs(x), axis=0)) | as below |
| 2 | 2-norm (largest sing. value) | as below |
| -2 | smallest singular value | as below |
| other | – | sum(abs(x)ord)(1./ord) |
In [125]: matrix_target = np.arange(4).reshape(-1,2)
In [126]: matrix_target
Out[126]:
array([[0, 1],
[2, 3]])
In [127]: np.linalg.norm(matrix_target, 'fro')
Out[127]: 3.7416573867739413
In [128]: np.linalg.norm(matrix_target, np.inf)
Out[128]: 5.0
In [129]: np.linalg.norm(matrix_target, 2)
Out[129]: 3.702459173643833
In [130]: vector_target = np.arange(4)
In [131]: vector_target
Out[131]: array([0, 1, 2, 3])
In [132]: np.linalg.norm(vector_target, np.inf)
Out[132]: 3.0
In [133]: np.linalg.norm(vector_target, 2)
Out[133]: 3.7416573867739413
In [134]: np.linalg.norm(vector_target, 3)
Out[134]: 3.3019272488946263
【c】矩阵乘法： @
[\rm [\mathbf{A}{m\times p}\mathbf{B}{p\times n}]{ij} = \sum{k=1}^p\mathbf{A}{ik}\mathbf{B}{kj}]
In [135]: a = np.arange(4).reshape(-1,2)
In [136]: a
Out[136]:
array([[0, 1],
[2, 3]])
In [137]: b = np.arange(-4,0).reshape(-1,2)
In [138]: b
Out[138]:
array([[-4, -3],
[-2, -1]])
In [139]: a@b
Out[139]:
array([[ -2, -1],
[-14, -9]])