堆排序( Heap Sort )由威尔士-加拿大计算机科学家 J. W. J. Williams 在 1964 年发明，它利用了二叉堆 (A binary heap) 的性质实现了排序，并证明了二叉堆数据结构的可用性。同年，美国籍计算机科学家 R. W. Floyd 在其树排序研究的基础上，发布了一个改进的更好的原地排序的堆排序版本。堆排序属于选择类排序算法。
一、优先队列
优先队列是一种能完成以下任务的队列：插入一个数值，取出最小或最大的数值（获取数值，并且删除）。优先队列可以用二叉树来实现，我们称这种结构为二叉堆。最小堆和最大堆是二叉堆的一种，是一棵完全二叉树（一种平衡树）。
- 最小堆的性质：
- 父节点的值都小于左右儿子节点。
- 这是一个递归的性质。
- 最大堆的性质：
- 父节点的值都大于左右儿子节点。
- 这是一个递归的性质。
最大堆和最小堆实现方式一样，只不过根节点一个是最大的，一个是最小的。
1.1. 最大堆特征
最大堆实现细节(两个操作)：
- push：向堆中插入数据时，首先在堆的末尾插入数据，如果该数据比父亲节点还大，那么交换，然后不断向上提升，直到没有大小颠倒为止。
- pop：从堆中删除最大值时，首先把最后一个值复制到根节点上，并且删除最后一个数值，然后和儿子节点比较，如果值小于儿子，与儿子节点交换，然后不断向下交换， 直到没有大小颠倒为止。在向下交换过程中，如果有两个子儿子都大于自己，就选择较大的。
最大堆有两个核心操作，一个是上浮，一个是下沉，分别对应 push 和 pop。这是一个最大堆：
用数组表示为：[11 5 8 3 4]
1.2. 上浮操作
我们要往堆里 push 一个元素 15，我们先把 X = 15 放到树最尾部，然后进行上浮操作。因为 15 大于其父亲节点 8，所以与父亲替换：
这时 15 还是大于其父亲节点 11，继续替换：
操作一次 push 的最好时间复杂度为：O(1)，因为第一次上浮时如果不大于父亲，那么就结束了。最坏的时间复杂度为： O(logn)，相当于每次都大于父亲，会一直往上浮到根节点，翻转次数等于树的高度，而树的高度等于元素个数的对数：log(n)。
1.3. 下沉操作
我们现在要将堆顶的元素 pop 出。如图我们要移除最大的元素 11：
我们先将根节点移除，然后将最尾部的节点 4 放在根节点上：
接着对根节点 4 进行下沉操作，与其两个儿子节点比较，发现较大的儿子节点 8 比 4 大，那么根节点 4 与其儿子节点 8 交换位置，向下翻转：
这样一直向下翻转就维持了最大堆的特征。
操作一次 pop 最好的时间复杂度也是：O(1)，因为第一次比较时根节点就是最大的。最坏时间复杂度仍然是树的高度：O(logn)。
1.4. 时间复杂度分析
构建一个最大堆，从空堆开始，每次添加元素到尾部后，需要向上翻转，最坏翻转次数是：
第一次添加元素翻转次数：log1
第二次添加元素翻转次数：log2
第三次添加元素翻转次数：不大于log3的最大整数
第四次添加元素翻转次数：log4
第五次添加元素翻转次数：不大于log5的最大整数
...
第N次添加元素翻转次数：不大于logn的最大整数
近似 = log(1)+log(2)+log(3)+...+log(n) = log(n!)
从一个最大堆，逐一移除堆顶元素，然后将堆尾元素置于堆顶后，向下翻转恢复堆特征，最坏翻转次数是:
第一次移除元素恢复堆时间复杂度：logn
第二次移除元素恢复堆时间复杂度：不大于log(n-1)的最大整数
第三次移除元素恢复堆时间复杂度：不大于log(n-2)的最大整数
...
第N次移除元素恢复堆时间复杂度：log1
近似 = log(1)+log(2)+log(3)+...+log(n) = log(n!)
根据斯特林公式：
可以进行证明 log(n!) 和 nlog(n) 是同阶的：
所以构建一个最大堆的最坏时间复杂度是：O(nlogn)。从堆顶一个个移除元素，直到移完，整个过程最坏时间复杂度也是：O(nlogn)。从构建堆到移除堆，总的最坏复杂度是：O(nlogn)+O(nlogn)，我们可以认为是：O(nlogn)。
如果所有的元素都一样的情况下，建堆和移除堆的每一步都不需要翻转，最好时间复杂度为：O(n)，复杂度主要在于遍历元素。
如果元素不全一样，即使在建堆的时候不需要翻转，但在移除堆的过程中一定会破坏堆的特征，导致恢复堆时需要翻转。比如一个 n 个元素的已排好的序的数列，建堆时每次都满足堆的特征，不需要上浮翻转，但在移除堆的过程中最尾部元素需要放在根节点，这个时候导致不满足堆的特征，需要下沉翻转。因此，在最好情况下，时间复杂度仍然是：O(nlog)。
因此，最大堆从构建到移除，总的平均时间复杂度是：O(nlogn)。
1.5. 最大堆实现
// 一个最大堆，一棵完全二叉树
// 最大堆要求节点元素都不小于其左右孩子
type Heap struct {
// 堆的大小
Size int
// 使用内部的数组来模拟树
// 一个节点下标为 i，那么父亲节点的下标为 (i-1)/2
// 一个节点下标为 i，那么左儿子的下标为 2i+1，右儿子下标为 2i+2
Array []int
}
// 初始化一个堆
func NewHeap(array []int) *Heap {
h := new(Heap)
h.Array = array
return h
}
// 最大堆插入元素
func (h *Heap) Push(x int) {
// 堆没有元素时，使元素成为顶点后退出
if h.Size == 0 {
h.Array[0] = x
h.Size++
return
}
// i 是要插入节点的下标
i := h.Size
// 如果下标存在
// 将小的值 x 一直上浮
for i > 0 {
// parent为该元素父亲节点的下标
parent := (i - 1) / 2
// 如果插入的值小于等于父亲节点，那么可以直接退出循环，因为父亲仍然是最大的
if x <= h.Array[parent] {
break
}
// 否则将父亲节点与该节点互换，然后向上翻转，将最大的元素一直往上推
h.Array[i] = h.Array[parent]
i = parent
}
// 将该值 x 放在不会再翻转的位置
h.Array[i] = x
// 堆数量加一
h.Size++
}
// 最大堆移除根节点元素，也就是最大的元素
func (h *Heap) Pop() int {
// 没有元素，返回-1
if h.Size == 0 {
return -1
}
// 取出根节点
ret := h.Array[0]
// 因为根节点要被删除了，将最后一个节点放到根节点的位置上
h.Size--
x := h.Array[h.Size] // 将最后一个元素的值先拿出来
h.Array[h.Size] = ret // 将移除的元素放在最后一个元素的位置上
// 对根节点进行向下翻转，小的值 x 一直下沉，维持最大堆的特征
i := 0
for {
// a，b为下标 i 左右两个子节点的下标
a := 2*i + 1
b := 2*i + 2
// 左儿子下标超出了，表示没有左子树，那么右子树也没有，直接返回
if a >= h.Size {
break
}
// 有右子树，拿到两个子节点中较大节点的下标
if b < h.Size && h.Array[b] > h.Array[a] {
a = b
}
// 父亲节点的值都大于或等于两个儿子较大的那个，不需要向下继续翻转了，返回
if x >= h.Array[a] {
break
}
// 将较大的儿子与父亲交换，维持这个最大堆的特征
h.Array[i] = h.Array[a]
// 继续往下操作
i = a
}
// 将最后一个元素的值 x 放在不会再翻转的位置
h.Array[i] = x
return ret
}
以上为最大堆的实现。
三、普通堆排序
根据最大堆，堆顶元素一直是最大的元素特征，可以实现堆排序。先构建一个最小堆，然后依次把根节点元素 pop 出即可：
func main() {
list := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
// 构建最大堆
h := NewHeap(list)
for _, v := range list {
h.Push(v)
}
// 将堆元素移除
for range list {
h.Pop()
}
// 打印排序后的值
fmt.Println(list)
}
输出：
1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49
根据以上最大堆的时间复杂度分析，从堆构建到移除最坏和最好的时间复杂度：O(nlogn)，这也是堆排序的最好和最坏的时间复杂度。这样实现的堆排序是普通的堆排序，性能不是最优的。
因为一开始会认为堆是空的，每次添加元素都需要添加到尾部，然后向上翻转，需要用 Heap.Size 来记录堆的大小增长，这种堆构建，可以认为是非原地的构建，影响了效率。
美国籍计算机科学家 R. W. Floyd 改进的原地自底向上的堆排序，不会从空堆开始，而是把待排序的数列当成一个混乱的最大堆，从底层逐层开始，对元素进行下沉操作，一直恢复最大堆的特征，直到根节点。
将构建堆的时间复杂度从 O(nlogn) 降为 O(n)，总的堆排序时间复杂度从 O(2nlogn) 改进到 O(n+nlogn)。
三、自底向上堆排序
自底向上堆排序，仅仅将构建堆的时间复杂度从 O(nlogn) 改进到 O(n)，其他保持不变。
这种堆排序，不再每次都将元素添加到尾部，然后上浮翻转，而是在混乱堆的基础上，从底部向上逐层进行下沉操作，下沉操作比较的次数会减少。步骤如下：
- 先对最底部的所有非叶子节点进行下沉，即这些非叶子节点与它们的儿子节点比较，较大的儿子和父亲交换位置。
- 接着从次二层开始的非叶子节点重复这个操作，直到到达根节点最大堆就构建好了。
从底部开始，向上推进，所以这种堆排序又叫自底向上的堆排序。
为什么自底向上构建堆的时间复杂度是：O(n)。证明如下：
第 k 层的非叶子节点的数量为 n/2^k，每一个非叶子节点下沉的最大次数为其子孙的层数：k，而树的层数为 logn 层，那么总的翻转次数计算如下：
因为如下的公式是成立的：
所以翻转的次数计算结果为：2n 次。也就是构建堆的时间复杂度为：O(n)。我们用非递归的形式来实现，非递归相对容易理解：
package main
import "fmt"
// 先自底向上构建最大堆，再移除堆元素实现堆排序
func HeapSort(array []int) {
// 堆的元素数量
count := len(array)
// 最底层的叶子节点下标，该节点位置不定，但是该叶子节点右边的节点都是叶子节点
start := count/2 + 1
// 最后的元素下标
end := count - 1
// 从最底层开始，逐一对节点进行下沉
for start >= 0 {
sift(array, start, count)
start-- // 表示左偏移一个节点，如果该层没有节点了，那么表示到了上一层的最右边
}
// 下沉结束了，现在要来排序了
// 元素大于2个的最大堆才可以移除
for end > 0 {
// 将堆顶元素与堆尾元素互换，表示移除最大堆元素
array[end], array[0] = array[0], array[end]
// 对堆顶进行下沉操作
sift(array, 0, end)
// 一直移除堆顶元素
end--
}
}
// 下沉操作，需要下沉的元素时 array[start]，参数 count 只要用来判断是否到底堆底，使得下沉结束
func sift(array []int, start, count int) {
// 父亲节点
root := start
// 左儿子
child := root*2 + 1
// 如果有下一代
for child < count {
// 右儿子比左儿子大，那么要翻转的儿子改为右儿子
if count-child > 1 && array[child] < array[child+1] {
child++
}
// 父亲节点比儿子小，那么将父亲和儿子位置交换
if array[root] < array[child] {
array[root], array[child] = array[child], array[root]
// 继续往下沉
root = child
child = root*2 + 1
} else {
return
}
}
}
func main() {
list := []int{5, 9, 1, 6, 8, 14, 6, 49, 25, 4, 6, 3}
HeapSort(list)
// 打印排序后的值
fmt.Println(list)
}
输出：
[1 3 4 5 6 6 6 8 9 14 25 49]
下一节：快速排序是一种分治策略的排序算法，是由英国计算机科学家 Tony Hoare 发明的， 该算法被发布在 1961 年的 Communications of the ACM 国际计算机学会月刊。
注： ACM = Association for Computing Machinery，国际计算机学会，世界性的计算机从业员专业组织，创立于1947年，是世界上第一个科学性及教育性计算机学会。
快速排序是对冒泡排序的一种改进，也属于交换类的排序算法。